\section{线性子空间}


\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 一个线性空间的非空子集能否带上大空间的线性运算 (加法和数乘) 成为线性空间呢？
      如果是，这样的线性空间称为大空间的一个子空间。非空子集能成为子空间的充要条件是其对加法和数乘封闭。
      如此，我们也有了得到新的线性空间的一种方式。
    \item 给定一些向量，包含这些向量的最小的子空间是什么？
      显然这些向量的所有的线性组合都在其中，而把这些向量的所有的线性组合放在一起已然是一个子空间，
      因此这个子空间就是包含这些向量的最小的子空间，这个子空间也称为这些向量生成的子空间。
      生成的子空间提供了构造子空间、线性空间的一种方式。
    \item 有了生成的子空间的观念后，我们可以如下描述线性表出和线性等价：
      向量$\alpha$可由向量组$S$线性表出相当于$\alpha$属于$S$生成的子空间；
      向量组$T$可由向量组$S$线性表出相当于$T$生成的子空间包含于$S$生成的子空间；
向量组$T$与向量组$S$线性等价相当于$T$生成的子空间等于$S$生成的子空间。
\item 关于子空间，我们常用的一些性质：
  向量组$S$的一个极大线性无关组就是$S$生成的子空间的一组基，特别地，该子空间的维数就是$S$的秩；
  子空间的基可以扩充为大空间的基。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{子空间}
  在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。
不难看出， 这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法也组成一个(二维的)线性空间。
% 这就是说， 它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。


\begin{definition}
  数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的一个非空子集合 $W$ 称为 $V$ 的一个线性\emph{子空间}(或简称子空间) (linear subspace), 如果 $W$ 对于 $V$ 的两种运算也构成数域 $P$ 上的线性空间。

\end{definition}

\pause
我们来展开分析下什么样的非空子集$W$才能成为$V$的子空间。
对于原有的运算，显然$W$继承了$V$中的规则 (1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8).
要使 $W$ 自身构成一线性空间，
我们还得要求 $W$ 对于 $V$ 中原有运算具有封闭性，
以及规则 (3), (4) 成立，
也就是说
\begin{enumerate}
  \item 若$k\in P, \alpha\in W$, 则$k\alpha\in W$. 亦即$W$对数量乘积封闭。

  \item 若$\alpha, \beta\in W$, 则$\alpha+\beta\in W$. 亦即$W$对加法封闭。
  \item $\symbf{0}\in W$.
  \item 若$\alpha\in W$, 则$-\alpha\in W$.
        \end{enumerate}
        条件 (3), (4) 两个包含在条件 (1) 中 （分别取$k=0$, $-1$），因此是多余的。
于是我们有
      \begin{theorem}
        若线性空间 $V$ 的非空子集 $W$ 对于 $V$ 的两种运算封闭，那么 $W$ 是一个子空间。
    \end{theorem}

\end{frame}

\begin{frame}
    既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念， 如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上。

 \begin{lemma}
   若$W$是有限维线性空间$V$的子空间，那么$W$有限维，且$\dim W\leqslant \dim V$, 其中等号成立当且仅当$W=V$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
   子空间$W$中不可能比在整个空间$V$中有更多数目的线性无关的向量，所以$\dim W\leqslant \dim V$.
   若$\dim W=\dim V$, 那么$W$的基也是$V$的基，从而易知$V=W$.
 \end{proof}

 \pause
\begin{example}
  在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做\emph{零子空间} (zero subspace)。
线性空间 $V$ 本身也是 $V$ 的一个子空间。
在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做\emph{平凡子空间} (trivial subspace)，
而其他的线性子空间叫做\emph{非平凡子空间} (nontrivial subspace)。
\end{example}

\pause
\begin{example}
$P[x]_{n}$ 是线性空间 $P[x]$ 的子空间。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
在线性空间 $P^{n}$ 中， $n$元齐次线性方程组
$AX=0$ 的全部解向量组成一个子空间，
这个子空间（记为$W$）叫做齐次线性方程组的\emph{解空间} (solution space)。
显然解空间$W$的基就是该方程组的基础解系， 且$\dim W= n-\rank(A)$.
\end{example}

\pause
\begin{example}
  令$P^{n\times n}$为数域$P$上$n$阶矩阵构成的线性空间。
  所有对称 (转：反称，上三角形，下三角形，对角形) 矩阵构成$P^{n\times n}$的一个线性子空间。
\end{example}

\pause
\begin{example}
  令$I$为实轴上的一个区间。
  考虑$I$上实值函数构成的实线性空间
  \[
    \Map(I, \symbf{R})=\{f\colon I\rightarrow \symbf{R}\}.
  \]
  我们有一系列子空间：
  \[
    \bR[x](I)\subset C^\infty(I) \subset \cdots \subset C^2(I)\subset C^1(I)\subset C^0(I)\subset \Map(I, \bR).
  \]
  其中$\bR[x](I)$为$I$上的一元多项式函数构成的集合，$C^\infty(I)$为$I$上光滑函数 (即无穷次可导函数) 构成的集合，
  $C^n(I)$是$I$上有连续的$n$阶导数的实值函数构成的集合 (特别地，$C^0(I)$为连续函数构成的集合)。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}{生成的子空间}
设 $S=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r})$ 是线性空间 $V$ 中一向量组，
令
\[
  L(S)=L( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r})\coloneq \{k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{r}  \alpha_{r} \mid k_i\in P\}
\]
为$S$中向量所有可能的线性组合构成的集合。
不难看出，$L(S)$ 非空且对$V$上的线性运算封闭，因而是 $V$ 的一个子空间，
这个子空间叫做由 $S=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r})$ \emph{生成（或张成）的子空间} (subspace generated by $S$; subspace spanned by $S$)。
$S$生成的子空间的另一个常用的记号是
\[
  \Span S=\Span (\alpha_1, \cdots, \alpha_r).
\]

~

\pause
由子空间的定义可知， 如果 $V$ 的一个子空间包含$S$, 
那么就一定包含所有的$S$中向量的线性组合，
也就是说，一定包含 $L(S)$ 作为子空间。
这样易知$L(S)$是包含$S$的最小的子空间。

~

\pause
有了$\Span S$这样的记号后我们有：
向量$\alpha$可由$S$线性表出相当于$\alpha \in \Span S$; 
若$S$线性无关，添加向量$\beta$到$S$得到的向量组$(S,\beta)$线性无关当且仅当$\beta\notin \Span S$; 
线性空间$V$中向量组$S$生成$V$相当于说$V=\Span S$;
\ldots

~

\pause
有限维线性空间的任何一个子空间$W$都可以这样得到。诚然，$W$显然有限维，因而是其任一组基生成的子空间。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    令$A\in P^{m\times n}$. 
    设$A$按行和按列分别分块为
  \[
    A=\begin{pmatrix}
    \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m
  \end{pmatrix},\quad 
  A=\begin{pmatrix}
    \beta_1 & \cdots & \beta_n
  \end{pmatrix}.
\]
令
\[
\begin{aligned}
  \Span_r(A)= \Span (\alpha_1, \cdots, \alpha_m) \quad
  \text{和} \quad \Span_c(A)= \Span(\beta_1, \cdots, \beta_n).
\end{aligned}
\]
分别为$A$的行向量组和列向量组生成的子空间。
$\Span_r(A), \Span_c(A)$分别称为$A$的\emph{行空间} (row space) 和\emph{列空间} (column space)。
易知$A$的行向量组$(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$的极大线性无关组是$\Span_r(A)$的基，
$A$的列向量组$(\beta_1, \cdots, \beta_n)$的极大线性无关组是$\Span_c(A)$的基。
这样
\[
  \dim \Span_r(A)=\rank_r(A), \quad \dim \Span_c(A)=\rank_c(A),
\]
其中$\rank_r(A), \rank_c(A)$分别表示$A$的行秩和列秩。
由$A$的秩、行秩、列秩知
\[
  \dim \Span_r(A)=\dim \Span_c(A)=\rank A.
\]
  \end{example}

\end{frame}

\begin{frame}{}


  \begin{example}
    \begin{wrapfigure}{r}{.48\textwidth}
      \vspace*{-2em}
      \begin{tikzpicture}
        \draw[thick,name path=l] (0,0) to[out=60,in=100] (4,1);
        \foreach \x in {0,1,...,4} {
          \path [name path=l\x] (\x,0) -- (\x,2);
          \path [name intersections={of=l and l\x}];
          \coordinate (P\x) at (intersection-1);
        }
        \draw[thick] (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P3) -- (P4);
        \node at (2,-.5) [below] {\parbox{.45\textwidth}{
            \small
            我们通过内接多边形来逼近曲线，这是微积分中常用的做法。
            直觉告诉我们内接多边形的边长不超过曲线的长度，
            所以曲线的长度应为所有内接多边形的边长的上确界。
            设$\gamma\colon [a,b]\rightarrow \bR^n$为$\bR^n$中曲线，其中$\gamma$为连续函数。
            若$\sP=\{x_0,\ldots,x_n\}$为$[a,b]$的一个划分，定义$\Lambda(\sP)=\sum_{i=1}^n \norm{\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})}$. 若$\sup_{\sP} \Lambda(\sP)$有界 (其中$\sP$遍历所有划分)，则称$\gamma$为\emph{可求长曲线}。
        }};
      \end{tikzpicture}
      \end{wrapfigure}

      (此例参见~\cite[第六章]{Apo04}.) 
      设$I=[a,b]$为一有界闭区间。$I$上的单调函数生成的$\Map(I, \bR)$的子空间
    $\operatorname{BV}(I)$由有界变差函数构成。
    有界变差函数与可求长曲线紧密联系。
    回忆下，函数$f\colon I\rightarrow \bR$称为\emph{有界变差函数}，
    若存在正数$M$使得对任意的$I$的划分$P=\{x_0=a,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b\}$有
\[
  \sum_{k=1}^n |\Delta  f_k|\leqslant M,
\]
其中$\Delta f_k = f(x_k)-f(x_{k-1})$ ($k=1,\cdots,n$).
例如，单调函数是有界变差的；可导且有有界的导函数的函数是有界变差的。
一般地，函数$f\colon I\rightarrow \bR$ 有界变差等价于
$f$写为两个单调递增函数之差。
这样单调函数的线性组合是有界变差函数，且有界变差函数属于$\operatorname{BV}(I)$.
因此，$\operatorname{BV}(I)$由有界变差函数构成。
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{}

%更一般地，我们可以用生成的子空间描述向量组之间的线性表出和等价。
关于子空间我们有以下常用的结果。

\begin{theorem}
$L(S_1)\subset L(S_2)$当且仅当$S_1$可由$S_2$线性表出。
 $L(S_1)=L(S_2)$当且仅当$S_1,S_2$等价。
\end{theorem}

\begin{proof}
  若$L(S_1)\subset L(S_2)$, 
      那么对任意的$\alpha\in S_1$, $\alpha\in L(S_2)$, 即$\alpha$可由$S_2$线性表出，
      从而$S_1$可由$S_2$线性表出。
反过来，若$S_1$可由$S_2$线性表出，
那么对任意的$\alpha\in L(S_1)$,
      $\alpha$可由$S_1$线性表出，
      从而可由$S_2$线性表出（表出的传递性），
      因此$\alpha\in L(S_2)$.
      这样$L(S_1)\subset L(S_2)$. 
      这就证明了$L(S_1)\subset L(S_2)$当且仅当$S_1$可由$S_2$线性表出。
      交换$S_1,S_2$的角色可知$L(S_2)\subset L(S_1)$当且仅当$S_2$可由$S_1$线性表出。
      进而$L(S_1)=L(S_2)$当且仅当$S_1,S_2$等价。
\end{proof}

\pause

\begin{theorem}
  \begin{enumerate}
        \item $\dim \Span(S)=\rank S$.
        \item 若$W$是$V$的子空间，则$W$的基可以扩充为$V$的基。
    \end{enumerate}
  \end{theorem}

\begin{proof}
  \begin{enumerate}
 \item 显然$S$为$\Span S$的生成集。取$S$的一个极大线性无关组$T$.
      由定理~\ref{163}~知$T$为$\Span S$的一组基。
      从而
      $\dim \Span(S)=\sharp T=\rank S.$
    \item $W$的基在$V$中当然是线性无关的，故由定理~\ref{163}~
      知其可扩充为$V$的基。
  \end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何谓向量空间的子空间？
      你能举出一些例子吗？
    \item 何谓生成的子空间？
      线性表出如何用子空间来描述？
    \item 
      子空间有哪些结论？
  \end{enumerate}
\end{frame}
